凸包

二维凸包

定义

凸多边形

凸多边形是指所有内角大小都在 \([0,\pi]\) 范围内的 简单多边形。

凸包

在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。

其定义为：对于给定集合 \(X\)，所有包含 \(X\) 的凸集的交集 \(S\) 被称为 \(X\) 的凸包。

实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。

凸包用最小的周长围住了给定的所有点。如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。

Andrew 算法求凸包

常用的求法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法，这里主要介绍 Andrew 算法。

性质

该算法的时间复杂度为 \(O(n\log n)\)，其中 \(n\) 为待求凸包点集的大小，复杂度的瓶颈在于对所有点坐标的双关键字排序。

过程

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。

显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是「左拐」的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。

因为从左向右看，上下凸壳所旋转的方向不同，为了让单调栈起作用，我们首先 升序枚举 求出下凸壳，然后降序求出上凸壳。

求凸壳时，一旦发现即将进栈的点（\(P\)）和栈顶的两个点（\(S_1,S_2\)，其中 \(S_1\) 为栈顶）行进的方向向右旋转，即叉积小于 \(0\)：\(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\)，则弹出栈顶，回到上一步，继续检测，直到 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0\) 或者栈内仅剩一个元素为止。

通常情况下不需要保留位于凸包边上的点，因此上面一段中 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\) 这个条件中的「\(<\)」可以视情况改为 \(\le\)，同时后面一个条件应改为 \(>\)。

实现

代码实现

C++Python

// stk[] 是整型，存的是下标
// p[] 存储向量或点
tp = 0;                       // 初始化栈
std::sort(p + 1, p + 1 + n);  // 对点进行排序
stk[++tp] = 1;
// 栈内添加第一个元素，且不更新 used，使得 1 在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  while (tp >= 2  // 下一行 * 操作符被重载为叉积
         && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
    used[stk[tp--]] = 0;
  used[i] = 1;  // used 表示在凸壳上
  stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp;  // tmp 表示下凸壳大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
  if (!used[i]) {
    // ↓求上凸壳时不影响下凸壳
    while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
      used[stk[tp--]] = 0;
    used[i] = 1;
    stk[++tp] = i;
  }
for (int i = 1; i <= tp; ++i)  // 复制到新数组中去
  h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;

stk = [] # 是整型，存的是下标
p = [] # 存储向量或点
tp = 0 # 初始化栈
p.sort() # 对点进行排序
tp = tp + 1
stk[tp] = 1
# 栈内添加第一个元素，且不更新 used，使得 1 在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for i in range(2, n + 1):
    while tp >= 2 and (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0:
        # 下一行 * 操作符被重载为叉积
        used[stk[tp]] = 0
        tp = tp - 1
    used[i] = 1 # used 表示在凸壳上
    tp = tp + 1
    stk[tp] = i
tmp = tp # tmp 表示下凸壳大小
for i in range(n - 1, 0, -1):
    if used[i] == False:
        #      ↓求上凸壳时不影响下凸壳
        while tp > tmp and (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0:
            used[stk[tp]] = 0
            tp = tp - 1
        used[i] = 1
        tp = tp + 1
        stk[tp] = i
for i in range(1, tp + 1):
    h[i] = p[stk[i]]
ans = tp - 1

根据上面的代码，最后凸包上有 \(\textit{ans}\) 个元素（额外存储了 \(1\) 号点，因此 \(h\) 数组中有 \(\textit{ans}+1\) 个元素），并且按逆时针方向排序。周长就是

\[ \sum_{i=1}^{\textit{ans}}\left|\overrightarrow{h_ih_{i+1}}\right| \]

Graham 扫描法

性质

与 Andrew 算法相同，Graham 扫描法的时间复杂度为 \(O(n\log n)\)，复杂度瓶颈也在于对所有点排序。

过程

首先找到所有点中，纵坐标最小的一个点 \(P\)。根据凸包的定义我们知道，这个点一定在凸包上。然后将所有的点以相对于点 P 的极角大小为关键字进行排序。

和 Andrew 算法类似地，我们考虑从点 \(P\) 出发，在凸包上逆时针走，那么我们经过的所有节点一定都是「左拐」的。形式化地说，对于凸包逆时针方向上任意连续经过的三个点 \(P_1, P_2, P_3\)，一定满足 \(\overrightarrow{P_1 P_2} \times \overrightarrow{P_2 P_3} \ge 0\)。

新建一个栈用于存储凸包的信息，先将 \(P\) 压入栈中，然后按照极角序依次尝试加入每一个点。如果进栈的点 \(P_0\) 和栈顶的两个点 \(P_1, P_2\)（其中 \(P_1\) 为栈顶）行进的方向「右拐」了，那么就弹出栈顶的 \(P_1\)，不断重复上述过程直至进栈的点与栈顶的两个点满足条件，或者栈中仅剩下一个元素，再将 \(P_0\) 压入栈中。

代码实现

struct Point {
  double x, y, ang;

  Point operator-(const Point& p) const { return {x - p.x, y - p.y, 0}; }
} p[MAX];

double dis(Point p1, Point p2) {
  return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));
}

bool cmp(Point p1, Point p2) {
  if (p1.ang == p2.ang) {
    return dis(p1, p[1]) < dis(p2, p[1]);
  }
  return p1.ang < p2.ang;
}

double cross(Point p1, Point p2) { return p1.x * p2.y - p1.y * p2.x; }

int main() {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (p[i].y < p[1].y || (p[i].y == p[1].y && p[i].x < p[1].x)) {
      std::swap(p[1], p[i]);
    }
  }
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    p[i].ang = atan2(p[i].y - p[1].y, p[i].x - p[1].x);
  }
  std::sort(p + 2, p + n + 1, cmp);
  sta[++top] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    while (top >= 2 &&
           cross(p[sta[top]] - p[sta[top - 1]], p[i] - p[sta[top]]) < 0) {
      top--;
    }
    sta[++top] = i;
  }
  return 0;
}

三维凸包

基础知识

圆的反演：反演中心为 \(O\)，反演半径为 \(R\)，若经过 \(O\) 的直线经过 \(P\),\(P'\)，且 \(OP\times OP'=R^{2}\)，则称 \(P\)、\(P'\) 关于 \(O\) 互为反演。

过程

求凸包的过程如下：

首先对其微小扰动，避免出现四点共面的情况。
对于一个已知凸包，新增一个点 \(P\)，将 \(P\) 视作一个点光源，向凸包做射线，可以知道，光线的可见面和不可见面一定是由若干条棱隔开的。
将光的可见面删去，并新增由其分割棱与 \(P\) 构成的平面。重复此过程即可，由 Pick 定理、欧拉公式（在凸多面体中，其顶点 \(V\)、边数 \(E\) 及面数 \(F\) 满足 \(V−E+F=2\)）和圆的反演，复杂度 \(O(n^2)\)。¹

模板题

P4724【模板】三维凸包

重复上述过程即可得到答案。

代码实现

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2010;
const double eps = 1e-9;
int n, cnt, vis[N][N];
double ans;

double Rand() { return rand() / (double)RAND_MAX; }

double reps() { return (Rand() - 0.5) * eps; }

struct Node {
  double x, y, z;

  void shake() {
    x += reps();
    y += reps();
    z += reps();
  }

  double len() { return sqrt(x * x + y * y + z * z); }

  Node operator-(Node A) { return {x - A.x, y - A.y, z - A.z}; }

  Node operator*(Node A) {
    return {y * A.z - z * A.y, z * A.x - x * A.z, x * A.y - y * A.x};
  }

  double operator&(Node A) { return x * A.x + y * A.y + z * A.z; }
} A[N];

struct Face {
  int v[3];

  Node Normal() { return (A[v[1]] - A[v[0]]) * (A[v[2]] - A[v[0]]); }

  double area() { return Normal().len() / 2.0; }
} f[N], C[N];

int see(Face a, Node b) { return ((b - A[a.v[0]]) & a.Normal()) > 0; }

void Convex_3D() {
  f[++cnt] = {1, 2, 3};
  f[++cnt] = {3, 2, 1};

  for (int i = 4, cc = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 1, v; j <= cnt; j++) {
      if (!(v = see(f[j], A[i]))) C[++cc] = f[j];

      for (int k = 0; k < 3; k++) vis[f[j].v[k]][f[j].v[(k + 1) % 3]] = v;
    }

    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
      for (int k = 0; k < 3; k++) {
        int x = f[j].v[k], y = f[j].v[(k + 1) % 3];

        if (vis[x][y] && !vis[y][x]) C[++cc] = {x, y, i};
      }

    for (int j = 1; j <= cc; j++) f[j] = C[j];

    cnt = cc;
    cc = 0;
  }
}

int main() {
  cin >> n;

  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> A[i].x >> A[i].y >> A[i].z, A[i].shake();

  Convex_3D();

  for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[i].area();

  printf("%.3f\n", ans);
  return 0;
}

练习

参考资料与注释

三维凸包学习小记 ↩

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